새로운 單位制度, 趙星煥 저, 1993년 2월 20일을 그동안 바뀐 자료를 보완하여 재정리한 것이다. 제 1 장단 위 제 도 의 분 류1.1 서 론공학을 공부하는 사람은 누구나 한번은 단위에 관하여 혼란을 느낀 경험을 갖게 된다. 특히 한국과 같이 미터단위제도와 영국단위제도, 그리고 전통적인 척관법을 혼용하고 있는 현재에 있어서 그 혼란은 매우 심하다. 여기서는 ISO (국제표준화기구)에서 규정하고 있는 국제표준단위 (SI 단위)를 중점적으로 설명하며, 우리 나라의 계량에 관한 볍률에 규정된 단위에 대하여 간단히 설명한다. 1.2 차원과 단위공학에서 다루는 물리적 양은 차원(dimension)을 갖는다는 점에서 수학에서 다루는 양과 다르다. 차원이란 길이, 시간, 면적, 속도 등과 같이 측정할 수 있는 양을 말하며, 일차차원(primary dimension)과 이차차원(secondary dimension)으로 구분한다. 일차차원을 기본차원(basic dimension)이라고도 말하며, 이차차원을 유도차원(derived dimesion) 또는 조립차원이라고도 한다. 이차차원은 일차차원의 조합에 의해 유도되는 차원이다. 예를 들면, 길이(L )과 시간(T )를 일차차원으로 하면 속도(V )의 차원은 길이/시간 (L/T )이 되고, 가속도의 차원은 길이/시간2 (L/T 2)이 된다. 만약 시간과 속도를 일차차원으로 하면 길이의 차원은 속도×시간(VT )이 되고 가속도의 차원은 속도/시간(V/T )이 된다. 일차차원의 수는 가능한 한 최소로 하고, 또 측정이 편리한 양으로 정한다. 단위(unit)는 각차원의 양을 측정하는 기준이다. 각 물리적 양은 하나의 차원만을 갖지만 여러 가지 단위를 가질 수 있다. 미터, 피트, 해리, 자(尺) 등은 모두 길이의 단위이다. 물리적 양의 크기를 말할 때에는 항상 단위를 포함하여야 한다. 물리적 양은 같은 차원을 갖는 양 만을 서로 비교할 수 있다. 따라서 차원이 다른 두 개의 물리적 양은 서로 가감할 수 없으며, 또 물리적 방정식의 양변은 서로 같은 차원을 가져야 한다. 같은 차원의 단위 사이에는 일정한 관계를 가지며, 이것을 단위환산율(unit conversion factor)라고 한다. 예를 들면, 1 ft(피트)의 길이는 0.3048 m의 길이와 같으므로
1 ft = 0.3048 m (1.1)
로 표시한다. 물리적 양을 가감할 때에는 같은 단위로 환산한 후에 계산하여야 한다. 예를 들면, A = 3 ft이고 B = 2 m일 때
A + B = 3 ft + 2 m
= 3 ft×(0.3048 m/ft) + 2 m = 0.9144 m + 2 m
= 2.9144 m
가 된다.
위에서 0.3048 m/ft는 식 (1.1)의 양변을 1 ft로 나누었을 때 얻어지는 값, 즉 무차원의 수 1과 같으므로 등식의 양변을 나누어 주거나 곱해주어도 값이 변하지 않는다. 1.3 절대단위계와 공학단위계단위계는 미터제(metric unit system)와 영국단위제(British unit system)로 크게 구분되며, 각각은 다시 절대단위계(absolute unit system)와 공학단위계(technical unit system)로 구분된다. 절대단위계와 공학단위계의 주요 차이점은 질량과 힘의 단위 관계에 있다. 질량과 힘의 단위 관계는 Newton의 운동 제2법칙에 의해서 정해진다. 즉 힘(force)을 f, 질량(mass)을 m, 가속도(acceleration)을 a라고 할 때, Newton의 운동법칙은
f ∝ ma
로 나타낼 수 있으며, 이때 비례상수를 1/gc라고 하면
f = (1/gc)ma (1.2)
가 된다. 상수 gc의 차원은 식 (1.2)의 양변이 같은 차원이 되도록 설정된다.
절대단위계에서는 길이(L ), 시간(T ), 질량(M )을 일차차원으로 하고 힘(F )의 차원은 이차차원으로서 식 (1.2)에서 gc = 1(무차원수)이 되도록 정해진다. 따라서 F = MLT -2이 된다. 즉 단위질량에 단위가속도를 주는 힘의 크기를 힘의 표준단위로 한다. 공학단위계는 중력단위계(gravitational unit system)라고도 하며, 길이(L ), 시간(T ), 힘(F )를 일차차원으로 하고 질량(M )은 이차차원이 되며, 역시 식 (1.2)에서 gc = 1(무차원수)이 되도록 결정된다. 따라서 M = FT 2L -1이 된다. 공학에서는 또 길이(L ), 시간(T ), 질량(M ), 및 힘(F )을 모두 일차차원으로 하는 4단위계 또는 FMLT 단위계를 사용하는 경우도 많이 있다. 이 경우에는 힘의 표준단위는 단위질량에 표준중력가속도 g0 (= 9.80665 m/s2)를 발생시키는 힘의 크기로 정해진다. 이때 힘과 질량의 표준단위는 같은 명칭을 가지며, 이를 구별하기 위해서 질량의 단위에는 m(mass의 첫 글짜)을, 힘의 단위에는 f(force의 첫글짜)의 첨자를 붙인다.
이때 식 (1.2)의 gc의 차원은 MLF -1T -2가 되며, 그 수치는 사용되는 단위에 따라서 달라진다.
일상생활에서 질량과 무게(중량)의 단위를 구별하지 않고 말하는 것은 4단위계를 사용하는 경우라고 할 수 있다.
1.4 미터제의 분류가. MKS 단위계길이의 단위를 m(미터; metre), 시간의 단위를 s(초; second), 질량의 단위를 kg(킬로그램; kilogram)으로 하는 절대단위계이며, 힘의 단위는 N(뉴턴; newton)이 된다. 이때
1 N = 1 kg·m/s2 (1.3)
의 관계를 갖는다. SI 단위는 이 제도를 기준하고 있다.
나. CGS 단위계길이의 단위를 cm(센티미터; centimetre), 시간의 단위를 s(초; second), 질량의 단위를 g(그램; gram)으로 하는 절대단위계이며, 힘의 단위는 dyn(다인; dyne)이 된다. 이때
1 dyn = 1 g·cm/s2 (1.4)
의 관계를 갖는다. 물리학과 화학에서 많이 사용되었다.
다. 중력단위계길이의 단위를 m(미터; metre), 시간의 단위를 s(초; second), 힘의 단위를 kgf(킬로그램힘, 또는 킬로그램중; kilogram-force)로 하며, 질량의 단위는 kgf·s2/m로 유도된다. 이 단위계는 일본의 공학서적에서 많이 사용되었다. 라. 4 단위계(FMLT 단위계)길이의 단위를 m(미터; metre), 시간의 단위를 s(초; second), 질량의 단위를 kg(킬로그램; kilogram), 힘의 단위를 kgf으로 하고 있으며, 이때 식 (1.2)의 gc는
gc = 9.80665 kg·m/(kgf·s2) (1.5)
이 된다. 역시 공학서적에서 많이 사용되었다.
1.5 영국단위제의 분류가. 절대단위계길이의 단위를 ft(피트; feet), 시간의 단위를 s(초; second), 질량의 단위를 lb(파운; pound)으로 하며, 힘의 단위는 pdl(파운들; poundal)로 유도된다. 이때
1 pdl = 1 lb·ft/s2 (1.6)
의 관계를 갖는다.
나. 중력단위계길이의 단위를 ft(피트; feet), 시간의 단위를 s(초; second), 힘의 단위를 lbf(파운드힘, 또는 파운드중; pound-force)로 하며, 질량의 단위는 slug(슬러그)로 유도된다. 이때
1 slug = 1 lbf·s2/ft (1.7)
의 관계를 갖는다.
다. 4 단위계(FMLT 단위계)길이의 단위를 ft(피트; feet), 시간의 단위를 s(초; second), 질량의 단위를 lbm(파운드; pound-mass), 힘의 단위를 lbf(pound-force)로 하고 있으며, 이때 식 (1.2)의 gc는
gc = 32.1740 lbm·ft/(lbf·s2) (약) (1.8)
이 된다. 미국의 공학서적에서 많이 사용되었다.
1.6 절대단위계와 공학단위계의 비교공학단위계(4단위계)에서는 지구표면에서 단위질량의 무게가 단위중량이 된다. 따라서 지구상의 공학문제를 취급함에 있어서 질량과 중량이 같은 수치를 가지므로 질량과 무게(힘)의 엄격한 구별을 하지 않아도 큰 문제가 발생하지 않는다. 즉 우리가 "이 돌의 무게는 1 킬로그램이다"라고 말할 때, 엄밀히 말하자면 단위가 킬로그램힘이 되어야 한다. 그러나 지구표면에서 1 kgf의 무게를 갖는 돌의 질량은 1 kg이므로 "이 돌의 질량은 1 kg(킬로그램)이다"라고도 해석할 수 있다. 이러한 혼동은 질량을 측정하는 대중적인 방법이 기준물체와 중량을 비교함으로써 간접적으로 질량을을 측정하기 때문이라고도 할 수 있다. 중량은 중력가속도에 따라서 변하며, 질량은 보존되지만 중량은 보존되지 않는다. 따라서 이런 경우에는 질량과 중량은 엄격히 구별되어야 한다. 예를 들어 "우주인이 달(月)에서 1 kg의 돌을 가져왔다"라고 말하는 경우에 1 kg은 어디까지나 질량을 의미한다고 보아야 하며, 중량(무게)를 말하는 경우에는 달에서의 무게인지 지구상에서의 무게인지를 구별하여야 한다. 미터제의 절대단위계에서는 십진법을 채택하고 있어서 환산율이 간단하며, 따라서 계산이 편리하다. 4단위계에서는 gc의 값이 1이 아니며, 사용되는 단위에 따라서 그 값의 수치가 달라지므로 단위환산에 혼란을 가져오기 쉽다. 이 점은 부록 B에서 보는 바와 같이 전통적인 공학단위계(예를 들어, 에너지의 단위로 칼로리를 사용하는 경우)에서도 마찬가지이다. 전기와 자기의 단위, 또 공학의 단위를 포함하면 단위계는 위에서 설명한 것보다 더 복잡하게 분류될 수 있으나 여기서는 주로 역학(mechanics)에서 사용되는 단위를 취급하였기 때문에 생략하였다. 몇 가지 단위계를 사용한 공학문제의 계산 예가 부록 B에 주어져 있으며, 부록 C에서는 공학단위계와 절대단위계의 차원비교표가 주어져 있다.
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