돌아가기
부 록 B
단 위 계 산 의 예
돌아가기
SI 단위와 미터제의 공학단위 및 영국단위제(야드·파운드법)의 차이를 설명하기 위해서 다음의 세 가지 예를 든다.
[예 1]
계의 엔탈피(enthalpy) H는 내부에너지(internal energy) U와 유동일(flow work) pV (p는 압력, V는 부피)의 합으로 정의된다. 즉
가. U = 300 kJ, p = 200 kPa, V = 0.5 m3일 때 H를 구하라.
| H | = U + pV
= 300 kJ + (200 kPa) × (0.5 m3)
= 300 kJ + 100 kJ
= 400 kJ |
단, Pa·m3 = N·m = J이다.
나. U = 3 kcalIT, p = 1.5 kgf/cm2, V = 0.3 m3일 때 H를 구하라.
| H | = U + pV
= 3 kcalIT + (1.5 kgf/cm2) × (0.3 m3) × (104 cm2/m2)
= 3 kcalIT + 4.5 kgf·m |
에너지의 단위 kgf·m를 kcalIT로 환산하려면, 부록 D의 환산표에서
| | 1 kcalIT = 426.935 kgf·m | (A.2) |
이므로 식 (A.2)의 양변을 1 kcalIT로 나누어 주면
| | 1 = 426.935 kgf·m/kcalIT = J | (A.3) |
를 얻는다. 이때 J를 열의 일당량(mechanical equivalent of heat)이라고 부른다. 개략적인 계산에서는 보통 J = 427 kgf·m/kcalIT로 사용한다. 열의 일당량은 무차원수 1과 같으므로 수식에서 임의의 값에 곱하거나 나누어주어도 식을 변경시키지 않으며, 단지 단위만을 바꾸어주는 역할만을 한다. 따라서
| H | = 3 kcalIT + 4.5 kgf·m/(426.935 kgf·m/kcalIT)
= 3 kcalIT + 10.54 kcalIT
= 13.54 kcalIT |
이다. 위의 예에서 보는 바와 같이 U와 pV의 단위가 다르기 때문에 공학단위계를 사용하던 공학교과서에서는
또는
로 쓰는 경우가 많았다. 이때 A = 1/J를 일의 열당랑이라고 부른다. 그러나 J 또는 A는 무차원수 1과 같으므로 식에서 생략해도 무방하다.
다. U = 3 Btu, p = 1000 lbf/in2, V = 2 ft3일 때 H를 구하라.
영국단위계에서 열의 일당량은 대략 J = 778.169 ft·lbf/Btu이므로
| H | = U + pV/J
= 3 Btu + (1000 lbf/ft2) × (2 ft3) / 778.169 ft·lbf/Btu
= 3 Btu + 2.57 Btu
= 5.57 Btu |
[예 2]
비점성, 비압축성 유체의 전압력(total pressure) pt는 정압력 (static pressure) p와 동압력 (dynamic pressure) ρv2의 합으로 정의된다. ρ는 밀도, v는 속도이다. 즉
가. p = 150 kPa, ρ = 250 kg/m3, v = 5 m/s일 때 pt를 구하라.
| pt | = ρ + ρv2 / 2
= 150 kPa + (250 kg/m3) × (40 m/s)2/2
= 150 kPa + 200 ×103 Pa
= 350 kPa |
단, kg/m3 × (m/s)2 = N/m2 = Pa이 된다.
나. p = 2 kgf/cm2, ρ = 1000 kg/m3, v = 5 m/s일 때 pt를 구하라.
| pt | = 2 kgf/cm2 + [1000 kg/m3 ×(5 m/s)2] / 2
= 2 kgf/cm2 + 12500 N/m2 |
이제 압력의 단위 N/m2를 kgf/cm2로 환산해야 한다. 단위환산표에서
| | 1 kgf = 9.80665 N = 9.80665 kg·m/s2 | (A.7) |
이므로 식 (A.7)의 양변을 1 kgf로 나누면
| | 1 = 9.80665 kg·m/(kgf·s2) = 9.80665 N/kgf = gc | (A.8) |
를 얻는다. 즉 gc의 값은 무차원수 1과 같다. 따라서 식의 임의의 항을 gc로 곱하거나 나누어도 등식은 변하지 않는다. 따라서
| pt | = 2 kgf/cm2 + (12500 N/m2) ×(10-4 m2/cm2) / (9.80665 N/kgf)
= 2 kgf/cm2 + 0.127 kgf/cm2
= 2.127 kgf/cm2 |
이 된다. 이의 예에서 보듯이 공학단위계(4단위계)에서는 식 (A.6)을
| | pt = p + ρv2 / (2gc) | (A.9) |
으로 표시하는 수가 많다. 그러나 gc의 값이 무차원수 1과 같으므로 생략해도 무방하다.
다. p = 2 psi, ρ = 0.1 lb/ft3, v = 150 ft/s일 때 pt를 구하라.
| pt | = p + ρv2 / (2gc)
= 2 lbf/in2
+ (0.1 lb/ft3) × (150 ft/s)2/[2 ×(32.1740 lb·ft/lbf·s) × (144 in2/ft2)]
= 2 lbf/in2 + 0.243 lbf/in2
= 2.243 lbf/in2 |
여기서 gc = 32.1740 lb·ft/(lbf·s)을 사용하였다. 또 1 ft2 = 144 in2이므로 이 식의 양변을 1 ft2으로 나누어서 얻어지는 144 in2/ft2의 값도 무차원수 1과 같으므로 단위환산을 위해서 나누어 줄 수 있다.
[예 3]
유체의 고속흐름에서 정체온도(stagnation temperature) T0는
| | T0 = T + v2 / (2cp) | (A.10) |
으로 정의된다.
가. T = 50 ℃, v = 300 m/s, cp = 0.574 kJ/(kg·℃)일 때 T0를 구하라.
| T0 | = T + v2 / (2cp)
= 50 ℃ + (300 m/s)2 / [2 × {0.574 kJ/(kg·℃)}]
= 50 ℃ + 78.4 × 103 N·m·℃/kJ
= 50 ℃ + 78.4 ℃
= 128.4 ℃ |
이때
이며, 또
이다.
나. T = 50 ℃, v = 600 m/s, cp = 0.24 kcalIT/(kg·℃)일 때 T0의 값을 구하라.
| T0 | = T + v2 / (2cp)
= 50 ℃ + (600 m/s)2 / [2 × {0.24 kcalIT/(kg·℃)}]
= 50 ℃ + 7.5 × 105 J·℃/kcalIT |
에너지의 단위 J를 kcalIT로 환산하기 위해서는
| gcJ | = {9.80665 (kg·m)/(kgf·s2)} × {426.935 (kgf·m)/(kcalIT)}
= 4186.8 kgf·m/(s2·kcalIT)
= 4186.8 J/kcalIT
= 1 | (A.11) |
이므로 우변의 마지막 항을 gcJ로 나누어주면
| T0 | = 50 ℃ + 7.5 × 105 J·℃/kcalIT / (4186.8 J/kcalIT)
= 50 ℃ + 179.1 ℃
= 229.1 ℃ |
가 된다. gcJ = 1 이 되는 것은 부록 D의 단위환산표에서
에서도 알 수 있다.
위의 예에서 보는 바와 같이 공학단위계(4단위계)에서는 식 (A.10)을
| | T0 = T + v2 / (2gcJcp) | (A.12) |
로 쓰는 수가 많다.
다. T = 100 ℉, v = 1000 ft/s, cp = 0.24 Btu/(lb·℉)일 때 T0의 값을 구하라.
| T0 | = T + v2 / (2gcJcp)
= 100 ℉
+ (1000 ft/s)2 / [2×{32.174 lb·ft/(lbf·s2)}×(778.169 ft·lbf/Btu) ×{0.24 Btu/(lb·℉)}]
= 100 ℉ + 83.2 ℉
= 183.2 ℉ |
위의 세 가지 예에서 보는 것과 같이 SI 단위를 사용하면 모든 단위환산이 십진법을 따르기 때문에 계산이 간단하며, gc 또는 J의 값이 모두 무차원의 1 이 되어 식에 포함시킬 필요가 없다. 그러나 어떤 단위계를 사용하든지 계산과정에서 단위를 명확히 한다면 착오가 일어나지 않을 것이다.
돌아가기