단위이야기



  조성환(2009-12-09 14:06:18, Hit : 5582, Vote : 247
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 데시벨(decibel, dB)과 네퍼(neper, Np)


데시벨(decibel, dB)과 네퍼(neper, Np)


데시벨(decibel, dB)

어떤 물리량의 기준값에 대한 측정값의 비율의 상용로그 값을 벨(bel, B)로 정의하며, 데시벨(decibel, dB)은 벨의 10분의 1로 정의한다. 즉
          1 B = 10 dB
이다.
데시(deci)는 SI단위에서 사용되는 10의 멱수배를 나타내는 머릿말로서 10분의 1을 나타낸다.
벨의 단위 B을 대문자로 쓰는 이유는 이 단위가 미국의 발명가인 알렉산더 그라함 벨(Alexander Graham Bell; 1847년 3월 3일 - 1922년 8월 2일)을 기념하여 붙인 것으로, 즉 인명에서 유래한 단위이기 때문이다.
벨(bel)의 10분의 일이란 의미에서 데시벨[dB]이며, 벨이 상용에서는 너무 큰 값이기에 별로 사용되지 않고 대신 데시벨이 일반적으로 사용된한다.
소리의 강함(음압 레벨, SPL)·전력 등의 비교나 감쇠량 등을 에너지 비율로 나타낼 때에도 사용된다.
어떤 기준값 P0에 대하여 P1의 데시벨 값 LdB은 다음과 같이 정의된다.
                                                                                            (1)

이 관계를 벨의 단위로 나타내면
                                                                                                   (2)

가 된다.
로그함수의 성질에 따라 P0P1는 반드시 같은 차원의 값이어야 하며, 데시벨의 값을 계산하기 위해서는 반드시 두 양의 단위도 같게 하여 P1 / P0의 값이 단위가 없는 무차원의 수로 만든 후에 계산하여야 한다. 데시벨은 무차원의 단위이다.
로그함수의 정의에 따라 P2LdB 사이에는 다음과 같은 관계가 성립된다.
                                                                                                       (3)

위의 식 (1)에서 P2 = P1인 경우에는 LdB는 0이 된다. 즉 0 dB는 측정값이 기준값과 같다는 것을 나타낸다.
마찬가지로 식 (1)에서 LdB = 1이면, P2 = 10 P1이 됨을 알 수 있다. 즉 1 dB은 측정값이 기준값의 10배가 된다는 것을 나타낸다.
즉 데시벨은 측정값이 큰 배수가 되는 경우에 작은 수로 나타내려고 하는 경우에 많이 사용된다. 소음의 경우 사람의 귀가 큰 차이의 음압 만을 인식할 수 있기 때문에 데시벨을 많이 사용한다.

진폭, 전압 및 전류
진폭의 측정에서는 측정된 진폭 A1와 기준 진폭 A0의 비율의 제곱의 비율을 생각하는 것이 보통이다. 대부분의 응용에서 전력은 진폭의 제곱에 비례하기 때문이며, 또 두 가지 데시벨이 같은 결과를 갖게 하기 위해서이다. 따라서 다음의 정의가 사용된다:
                                                                  (4)
이 공식은 20 로그 법칙이라고 부르기도 하며, 마찬가지로 식 (1)로 정의되는 전력의 비율의 경우를 10 로그 법칙이라고도 부른다.


네퍼(neper, Np)

네퍼(neper, Np)는 비율(이득, 손실 등 상대적인 값)을 나타내는 단위이다. 네퍼는 SI단위는 아니지만 SI단위와 함께 사용할 수 있게 허용된 단위이다.
이 단위의 명칭은 로그함수를 발명한 스코트랜드의 수학자이며 과학자인 나피어(John Napier, 1550년 - 1617년 4월 4일, Neper라고도 함)를 기념하여 명명되었다. 따라서 단위기호 Np에서 첫자(N)는 반드시 대문자로 써야 한다.
데시벨과 마찬가지로 네퍼도 로그함수로 정의되었으나, 데시벨이 10을 밑으로 하는 상용로그로 정의된데 반하여, 네퍼는 수학 상수 e (≒ 2.71828 18284 59045 23536. 간혹 오일러의 수라고도 부른다)를 밑으로 하는 자연로그로 정의된다. 네퍼로 정의되는 비율은 다음식으로 정의된다.
                                                                                      (5)

위의 식에서 x1x2는 같은 단위를 갖는 같은 차원의 값이며, ln는 자연로그함수를 나타낸다.
x2는 기준값이 된다.

네퍼는 흔히 전기회로에서 전압과 전류의 크기 (또는 음향학에서 음압) 등을 나타내는데 많이 사용되며, 데시벨은 전력의 비율을 나타내는데 많이 사용된다. 데시벨과 네퍼로 나타낸 비율은 서로 변환할 수 있다.
파동의 동력은 진폭의 제곱에 비례하기 때문에

                                                  (6)


그리고

                                                  (7)


데시벨과 네퍼는 서로 고정된 비율을 갖고 있다. 전압 레벨은

                                                                                                    (8)


데시벨과 마찬가지로 네퍼도 무차원 단위이다.
ITU(국제전기통신동맹)는 데시벨과 네퍼 두 가지 단위를 다 인정한다.







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단위에 관해 가볍게 글을 써 봅니다.
특히 청소년들에게 도움이 되었으면 좋겠습니다.

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